Ensemble de solutions de y' = ay + b

Théorème

Soit  $a$ et  $b$ deux réels non nuls.
Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $\boxed{{\displaystyle x\mapsto k{\text{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}}}$ , où $k\in \mathbb{R}$ . 

Démonstration  

Soit  $a$ et  $b$ deux réels non nuls. On s'intéresse aux solutions   sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$ .

• Soit  $f$  une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$ .
  $f$ vérifie ainsi l'équation $f^{\prime }=af+b$ .
  Soit $f_0$ la solution particulière de l'équation différentielle définie, pour tout réel $x$ , par  $f_0(x)=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ . 
  $f_0$ vérifie aussi $f_0^{\prime }=a{f}_0+b$ .
  Alors on a $(f-f_0{)}^{\prime }=(af+b)-(a{f}_0+b)=a(f-f_0)$ .
  Donc la fonction $f-f_0$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay$ .
  D'où, pour tout $x$ réel, il existe un réel  $k$ tel que $(f-f_0)(x)=k{\text{e}}^{ax}$ .
  Ainsi, pour tout $x$   réel, $f(x)=k{\text{e}}^{ax}+f_0(x)$ .
  
• Réciproquement, on vérifie que les fonctions définies   sur $\mathbb{R}$ et de la forme  $x\mapsto k{\text{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ , où $k$ est réel, sont solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$ .
  Soit   $k$ un réel. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par  $f(x)=k{\text{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ .
  Pour tout réel $x$ , on a $f^{\prime }(x)=ka{\text{e}}^{ax}$ .
  Donc, pour tout   tout réel $x$ , on a  $af(x)+b=a(k{\text{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}})+b=ak{\text{e}}^{ax}-b+b=f^{\prime }(x)$ .
  

Conclusion
Les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ et de la forme  $x\mapsto k{\text{e}}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ , où $k$ est réel, sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$ .